Ο Απόστολος Κώστιος σπούδασε Ανώτερα θεωρητικά και Πιάνο στο Ελληνικό Ωδείο, Τραγούδι στο Εθνικό Ωδείο, Ιστορία της Τέχνης και Μουσικολογία στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης. Το 1980 αναγορεύτηκε διδάκτορας Φιλοσοφίας (Μουσικολογίας). Τo 1992 εξελέγη αναπληρωτής καθηγητής και το 1998 Καθηγητής Ιστορικής Μουσικολογίας του Πανεπιστημίου Αθηνών, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, (Μουσικολογίας). Έχει συγγράψει τα έργα: "Τα πενήντα χρόνια της Ένωσης Ελλήνων Μουσουργών, 1931-1981", (1981)· "Δημήτρης Μητρόπουλος", (1985)· "Dimitri Μitropoulos", (1993)· "Κείμενα Δ. Μητρόπουλου" - Σχόλια Α. Κώστιου, (1997)· "Κατάλογος έργων Δημήτρη Μητρόπουλου", (1997)· "Το στοιχείο της θεατρικότητας στο έργο του Δ. Μητρόπουλου", (1997)· "Μουσικολογικά Ι", (1999)· "Μέθοδος Μουσικολογικής Έρευνας", (2001) κ.ά. Έχει μεταφράσει λιμπρέτα όπερας και μουσικά συγγράμματα. Έχει επιμεληθεί: Κριτικές εκδόσεις συνθετικών έργων του Μητρόπουλου· τον τόμο Μουσική τής Εκπαιδευτικής Ελληνικής Εγκυκλοπαίδειας, ("Εκδοτική Αθηνών")· δισκογραφικές εκδόσεις στην Ελλάδα και το εξωτερικό. Είναι ιδρυτής και επιστημονικός υπεύθυνος της σειράς "Ελληνικές Μουσικολογικές Εκδόσεις" (Μουσικός Οίκος Παπαγρηγορίου - Νάκας). Κέντρο του ερευνητικού ενδιαφέροντος του Α.Κ. αποτελεί η Ελληνική μουσική. Επιστημονικός υπεύθυνος ή επιστημονικός συνεργάτης ερευνητικών προγραμμάτων, όπως: "Έκδοση κειμένων και τεκμηρίων βιογραφίας του Μ. Καλομοίρη"· "Η Ιστορία της Κρατικής Ορχήστρας Αθηνών"· "Corpus των μουσικοκριτικών σημειωμάτων του Μ. Δούνια"· "Εντοπισμός και συλλογή κειμένων σε εφημερίδες και περιοδικά σχετικών με την ελληνική μουσική ζωή από τα μέσα του 19ου έως τα μέσα του 20ού αιώνα"· "Ψηφιοποίηση του Αρχείου της Ε.Λ.Σ." κ.ά. Ο Απόστολος Κώστιος δημιούργησε το "Αρχείο και Κέντρο Τεκμηρίωσης της Ελληνικής Μουσικής- (Α.Κ.Τ.Ε.Μ.)· περιλαμβάνει -μεταξύ των άλλων- τη "Συλλογή Δ. Μητρόπουλος", με τη στήριξη τής οποίας πραγματοποιούνται στην Ελλάδα και σε μεγάλα μουσικά κέντρα του εξωτερικού εκθέσεις με θέμα "Δημήτρης Μητρόπουλος - Ζωή και Έργο", (Αθήνα, Μιλάνο, Βιέννη, Νέα Yόρκη, Ναύπλιο, Βόλος, Μόσχα, Πάτρα κ.ά.). Στον Α.Κ. οφείλεται η αφύπνιση τού ενδιαφέροντος για το συνθετικό έργο του Μητρόπουλου. Είναι μέλος της Τιμητικής Επιτροπής του Διεθνούς διαγωνισμού Διεύθυνσης ορχήστρας και Σύνθεσης "Δημήτρης Μητρόπουλος". Ο Απόστολος Κώστιος έχει συνεργαστεί με το Α΄ και το Γ΄ Πρόγραμμα τής ΕΡΤ, καθώς και με την Αυστριακή Ραδιοφωνία (ORF). Aπό το 1998 εκλέγεται πρόεδρος τού ελληνικού τμήματος του International Μusic Council - UΝΕSCΟ. Από το 1997 ανήκει στην Ολομέλεια τής Ελληνικής Εθνικής Επιτροπής για την UΝΕSCΟ. Με δική του πρωτοβουλία θεσπίστηκε το "Ελληνικό Βραβείο Μουσικής - UΝΕSCΟ". Ο Απόστολος Κώστιος διετέλεσε Αντιπρόεδρος του Δ.Σ. τής Ε.Λ.Σ. από το 1999 έως το 2006. Από το 1981 προσφέρει τις υπηρεσίες του ως "Σύμβουλος καθηγητής" (Τμήμα υποτροφιών) του Κοινωφελούς Ιδρύματος Αλέξανδρος Σ. Ωνάσης. Τo 1988 το Υπουργείο Παιδείας τής Αυστρίας απένειμε στον Απόστολο Κώστιο τον τίτλο του "Ρrofessor". Tο 2004 αναγορεύτηκε Επίτιμο μέλος της Ένωσης Ελλήνων Μουσουργών σε αναγνώριση της προσφοράς του στην ελληνική μουσική.